Σχετικά με τον υπολογιστή αποσύνθεσης QR πίνακα
Αυτός είναι ένας δωρεάν online υπολογιστής αποσύνθεσης QR πίνακα με πλήρη, λεπτομερή, βήμα προς βήμα περιγραφή των λύσεων, που πραγματοποιεί λειτουργίες με πίνακες έως 99x99 σε μέγεθος, με στοιχεία πίνακα τύπου: δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, μιγαδικοί αριθμοί, μεταβλητές.
Για να ξεκινήσετε τον υπολογισμό, πρέπει πρώτα να εισαγάγετε το μέγεθος του πίνακα στο πεδίο εισόδου που μπορείτε να βρείτε στο πολύ επάνω μέρος της οθόνης, επίσης εκεί μπορείτε να επιλέξετε την επιθυμητή μέθοδο υπολογισμού.
Λίγο πιο κάτω θα βρείτε ένα παράθυρο πίνακα στο οποίο πρέπει να εισαγάγετε τα στοιχεία του πίνακα χρησιμοποιώντας το πληκτρολόγιο. Εδώ βρίσκεται επίσης το πλήκτρο ελέγχου του πίνακα, το οποίο διευκολύνει την εργασία με τους πίνακες και περιέχει τα εξής στοιχεία ελέγχου:
- Το πρώτο στοιχείο σάς επιτρέπει να διευρύνετε το παράθυρο του πίνακα. Αυτό μπορεί να είναι ιδιαίτερα χρήσιμο στις περιπτώσεις όπου πρέπει να πραγματοποιήσετε υπολογισμούς με πολύ μεγάλους πίνακες που δεν χωρούν πλήρως. Εάν ο πίνακας δεν είναι ακόμη ορατός μετά τη διεύρυνση του παραθύρου, μπορείτε να αλλάξετε την κλίμακα του πίνακα χρησιμοποιώντας τα πλήκτρα + / -.
- Το δεύτερο στοιχείο εκτελεί τη λειτουργία αντιγραφής της εισόδου του πίνακα στον μνήμης buffer. Αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο στις περιπτώσεις όπου χρησιμοποιείτε συχνά τον ίδιο πίνακα για υπολογισμούς, ή αν χρειάζεται να μετακινείτε πίνακες μεταξύ λειτουργιών.
- Και το τελευταίο στοιχείο εισάγει τον προηγουμένως αντιγραμμένο πίνακα, που σας επιτρέπει να επιταχύνετε τη διαδικασία εισαγωγής του πίνακα σε μόλις μερικά κλικ, αντί να το κάνετε χειροκίνητα.
Και πιο κάτω θα βρείτε μια γραμμή εργαλείων που σάς επιτρέπει να προσαρμόσετε τον υπολογιστή και να διευκολύνετε την εργασία μαζί του. Είναι οπτικά χωρισμένη σε τρία μέρη, η καθένα από τα οποία είναι υπεύθυνο για την ακόλουθη λειτουργικότητα:
- Το πρώτο σας επιτρέπει να επιλέξετε τη μορφή αριθμού κατά την εμφάνιση του αποτελέσματος της λύσης. Επίσης, εδώ μπορείτε να απενεργοποιήσετε τα σχόλια στη λύση του προβλήματος εάν έχετε ήδη καταλάβει πώς να επιλύσετε αυτό το πρόβλημα, και χρησιμοποιείτε τον υπολογιστή για να επιταχύνετε ή να ελέγξετε τους δικούς σας υπολογισμούς. Ή μπορείτε να απενεργοποιήσετε εντελώς τη λύση βήμα προς βήμα εάν χρειάζεστε μόνο το αποτέλεσμα της λύσης.
- Το δεύτερο περιλαμβάνει κουμπιά που σάς επιτρέπουν να αλλάξετε τον τύπο του πεδίου εισόδου του πίνακα, να διαγράψετε τα στοιχεία του ή ολόκληρο τον πίνακα, και το μεγαλύτερο κουμπί με το ίσον, που θα σας οδηγήσει στην οθόνη με τη λύση του προβλήματος. Όλα αυτά τα κουμπιά επαναλαμβάνονται από τα πλήκτρα στο πληκτρολόγιο. Για να μάθετε ποιο πλήκτρο του πληκτρολογίου πρέπει να πατήσετε, απλώς εισαγάγετε τον κέρσορα πάνω από ένα από τα κουμπιά και θα εμφανιστεί ένα tooltip με το όνομα του πλήκτρου. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα βέλη του πληκτρολογίου σας για να μετακινήσετε τον κέρσορα μεταξύ των πεδίων εισαγωγής του πίνακα.
- Και το τελευταίο σας επιτρέπει να επιλέξετε τον αριθμό των ψηφίων μετά το δεκαδικό σημείο για την αποκοπή μη ακεραίων αριθμών. Επίσης, εδώ μπορείτε να δείτε αμέσως ένα παράδειγμα του πώς θα φαίνονται τα στρογγυλεμένα κλάσματα.
Τι είναι η αποσύνθεση QR ενός πίνακα;
Η αποσύνθεση QR είναι η παραγοντοποίηση ενός δοσμένου πίνακα σε δύο πίνακες, έναν από τους οποίους είναι ορθοκανονικός πίνακας και ο άλλος ένας ανώτερος τριγωνικός πίνακας, και το γινόμενο αυτών των δύο πινάκων δίνει τον αρχικό πίνακα. Η αποσύνθεση QR μπορεί να εφαρμοστεί σε πίνακες όπου ο αριθμός των στηλών δεν υπερβαίνει τον αριθμό των γραμμών.
Πώς να εκτελέσετε την αποσύνθεση QR ενός πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gram-Schmidt;
Αρχικά, πρέπει να εφαρμόσουμε τη διαδικασία Gram–Schmidt (ορθογωνικοποίηση και ορθονορμοποίηση) στις στήλες του δοσμένου πίνακα και τα αποτελέσματα θα είναι οι στήλες του ορθοκανονικού πίνακα. Στη συνέχεια, για να λάβουμε τον ανώτερο τριγωνικό πίνακα, πρέπει να βρούμε τον πίνακα μετατόπισης του ορθοκανονικού πίνακα και να τον πολλαπλασιάσουμε με τον αρχικό πίνακα.
Πώς να εκτελέσετε την αποσύνθεση QR ενός πίνακα χρησιμοποιώντας τις ανακλάσεις Householder;
Πρέπει να ξεκινήσουμε υπολογίζοντας το διάνυσμα ανακλάσεων Householder για κάθε στήλη του δοσμένου πίνακα. Αφού εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό Householder σε όλες τις στήλες του δοσμένου πίνακα, ο μετασχηματισμένος πίνακας θα είναι ένας ανώτερος τριγωνικός πίνακας. Ο ορθοκανονικός πίνακας προκύπτει πολλαπλασιάζοντας όλους τους πίνακες Householder που έχουν προκύψει σε κάθε βήμα κατά τη διάρκεια του υπολογισμού του ανώτερου τριγωνικού πίνακα.
Πώς να εκτελέσετε την αποσύνθεση QR ενός πίνακα χρησιμοποιώντας περιστροφές Givens;
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε περιστροφές Givens για να κάνουμε όλα τα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο του δοσμένου πίνακα μηδέν, δίνοντάς μας έναν ανώτερο τριγωνικό πίνακα. Κατά τη διάρκεια του υπολογισμού του ανώτερου τριγωνικού πίνακα σε κάθε επανάληψη, θα υπολογίσουμε τον πίνακα G για να μετατρέψουμε τα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο σε μηδέν. Για να λάβουμε έναν ορθοκανονικό πίνακα, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε όλους τους μετασχηματισμένους πίνακες G που προκύπτουν σε κάθε βήμα.
Πηγές
